编者按 本文是世界著名数学家华罗庚教授于一九八五年六月十二日在日本东京大学给日本数学会所作的学术报告的主要内容。当华老刚作完报告，心脏病突然复发，经抢救无效猝然长逝。他的逝世，是我国科技事业的重大损失。为了纪念敬爱的华罗庚教授，继承他的遗志，本刊特请当时随同华老去日本进行学术交流的得力助手陈德泉和计雷二位同志将华老在东京大学的讲演报告追记成文，发表于此。
在讲演开始，华老首先用投影灯向听众介绍了他亲笔写的讲演题目：
今天讲的题目是《理论数学与应用》，这和我原来准备讲的题目《我在中华人民共和国普及数学方法的体会》是一致的。
一 五十年代
在理论方面的工作：
数论；
代数；
多复变函数论分析。
通过讨论班的形式，一方面进行研究工作，一方面训练学生。出了一批论文，写了几本书。有《数论导引》；有与王元、陈景润合作写的《百科全书解析数论分册》；有与万哲先合作写的《典型域上调和分析》等等。
这期间的普及对象是中学生和中学教师。为此，提倡并组织了中学生数学竞赛，写了几本通俗的小册子。
后来，又从其它学科中找到了有关的数学内容，例如矿藏几何学，晶体结构，蜂窝问题等。
例如矿藏几何学中坡地面积的计算(*) ：
△h —— 高度差；
l0 —— 高度为 0 的等高线；
ln —— 最高点，高度为 n；
Wi —— 等高线 li 和 li+1 ，之间的面积；
| li | —— 等高线 li 的长度。
矿体几何学家用的 Baooman 方法是：
地理学家用 Volkov 方法：
作为数学家要回答的问题是：这些方法给出的结果是怎样逼近斜面积？即当△h→ 0时，这些方法给出了什么结果？极限是否就是斜坡面积？一般地说答案是否定的，仅仅对一些十分特殊的曲面，答案才是肯定的，结果是：
只有象金字塔、蒙古包和由此综合出来的图形，才能由 Volkov 方法来无限逼近，只有象葫芦、塔之类的曲面才能用 Baooman 方法逼近。这个问题说明数学工作者从其他学科寻找问题的可能性，也说明了数学理论的重要性。
进一步我们给出的近似计算公式就不在这里讲了。这些方法让地理、地质、矿冶方面专家知道就可以了，不能成为广泛普及的材料。
在五十年代末期，也开始了数学用于国民经济的研究工作。
二 六十年代
在理论与教学方面，为大学教学写了《高等数学引论》。本书的特点是包括了不少数学分析和其它学科的内容。这些内容只需一、二页就可以讲清楚，而且适合放在高等数学里，例如微分几何。
开始了应用数论工具求高维积分的研究工作：
它在 Diophantine 逼近上占有主要位置，由之我想到以下的数论积分公式：
这是用单积来逼近重积分。其中：
Fn：1，1，2，3，5，8 …… 为 Fibonacci 数。
如何把这种方法推广到多重积分？关键在于
是什么？
这是分圆数，分圆为 5 份。它启发了我，分圆为 P 份的数
在处理多维数值积分中的应用。这不但可以用于数值积分，而且凡用随机数的地方，都可以用这点列。
根据在实际中大量存在着的管理和技术两大类课题，我们研究了统筹与优选，也吸收了五十年代推广各种“学”的不成功的教训，而从方法入手。
为了普及的目的，不但要收集资料，而且要消化资料，然后考虑用生动的语言，使每个工人都能听得懂，学得会，用得上，并见成效。这次有机会和日本管理科学界的朋友们接触，从他们那里学到了不少东西。特别是他们重视应用科学的应用发展研究，开发理论研究成果的应用。在这方面我们也有深刻的体会。应用科学的研究，不同于纯理论研究。不能只停留在理论研究工作，还要进行开发研究，开发应用有关的理论成果，通过实际检验进一步丰富。而且还要在发展研究的基础上推广应用，接受更广泛的检验，进一步提高发展。
一般地讲，中国工人的文化水平不如日本的文化水平高。如果我到车间去讲优选法，要求听讲的工人都要学过微积分，这是不可能的。那么我是怎么在中国普及优选法呢？首先我让大家记住一个数—— 0.618。这张纸条和这支烟就是我的教具，假定这张纸就代表某一因素的选择范围。第一个试验点在什么地方呢？在全长的 0.618 处作。（此时华老点燃了烟，用烟头在纸条的 0.618 处烧了一个洞——追记者注。）第二个试验点又在什么地点作呢？在纸上第一个试验点的对称点上作，在这里我就很简单地找到了：把纸对折起来，顺着第一个试验点所烧的洞烧过去，第二个试验点就找到了。这时可将两个实验点所得的结果对比下，看哪个实验点作出的效果好？如果第一点比第二点好，那么就把第二点以下撕掉。如果第二点比第一点好，就把第一点以上撕掉。假定结果是第二点比第一点好，第一点以上已经被撕掉了，下一个试验在什么地方作呢？仍然是把剩余的纸条对折一下，顺着剩下的实验点所烧的洞烧过去，就得到了第三个试验点。然后再作比较，留下好的，撕去坏的。以后怎么作，不用我讲了吧! （笑声）一直作到生产上所需要的精度为止。
三 七十年代
在理论方面和王元合作的《数论积分近似计算》; 为研究生入门写的《从单位圆谈起》;与吴兹潜、林伟合作的《偏微分方程组》; 还有《优选学》先后出版了。
在应用方面，开展应用、普及推广优选法和统筹法。到过中国的二十六个省、市、自治区。西藏、青海、宁夏、医生没有让我去。同时我也没有忘记，中国的一个省— 台湾，我还没有去。
我和我的学生们，推广应用小分队，到了上万个工厂。各地印刷了数以百万计的“双法”平话和成果资料。每到一省，听众就有十几万人。应用范围遍及各行业，在实际中培养了一批骨干，摸索了在中国发展应用数学的途径，取得了明显的效果。例如，四川省普及推广双法四个月时间的经济效果就是二亿三千万元。
在应用数学方面由始至今协助我工作的两位学生和助手，就是在座的陈德泉教授和计雷教授。
在英国伦敦学会，当我介绍了在中国的应用数学工作后，有位教授问我的学生陈教授：“华教授肯定是百万富翁吧？”陈不好回答，就带他来问我。我回答说：“是的，我是亿万富翁。但是，钱不是在我的口袋里。我为国家作些事感到精神上是充实的，是亿万富翁。”
我讲话超过了规定时间，请允许我再延长几分钟。
四 八十年代
除继续普及及推广应用统筹优选外，工作有了进一步发展，开始研究更高层次的管理问题、规划和国家的重点项目，涉及的面比以前更广泛了。
开始回忆五十年代后期开始研究的《计划经济大范围最优化的数学理论》。这些理论手稿成于 59~60 年，被盗毁于“文化大革命”期间。在八十年代，觉得件开始成熟，这些理论可能有用，想把它们回忆写出来。但事隔二十年，要重新写，花费超过以往两倍的时间。
在计划经济中，常常提到高速度，按比例。在一定生产条件下，各部门的最优比例关系是什么？发展的最高速度是多少？如果经济出现不平衡，如何调整与控制？在数学上有如下的结论：
如果消耗方阵 A 为不可分拆、非负、非广义置换阵，若 X0 不是它的正特征根的话，则存在着一个整数 l0，使得
出现负分量。
若 X0 为 A 的正特征矢量，则
这说明，如果投入生产的各部门正好按反映现在生产条件的 A 的特征根的各分量按排的，那么各部门将以
的速度增长。如果不是这样按排，增长速度不
可能超过，而且生产会失去平衡，最后出现危机。
这个理论不但可以用于经济，在马氏链和核分裂中也可能有用处。
在应用 Markov 链时，有时统计了某一时刻的数据，得出 X0，就可以预测未来
我们的上述基本定理说明，除非 X0 为 A 的特征矢量，或 A 为广义置换方阵，不然我们一定有 m0 使得X0Am0+1出现负支量。这说明Markov过程必有开始，始于 m0时刻。应该从实际意义交代一下才好。
“一论双法”都是应用数学方面的一个尝试。
以上介绍的是五十年代、六十年代、七十年代和八十年代我在理论数学、应用数学和普及推广方面所做的工作。
追记者（陈德泉，计雷）附言：
我们把华罗庚教授于一九八五年六月十二日在日本东京大学的数学讲演追记成文后，眼前又出现了华老当时发表讲演的动人场景。华老访问日本，这是第二次了。第一次是在动乱时期的 1973 年，由于众所周知的原因，没有机会与日本数学界朋友作学术交流，这成了华老生前的一大心事。这次访日，华老先到了一些实际部门，在交流过程中，谈得非常融洽，找到了许多共同语言。6 月 12日，日本数学会为他安排了一次讲演。当天上午华老在新大谷饭店为演讲作准备。上午十一点提前吃了午饭，下午一点半出发，二点多同日本学士院的数学院士见面，二点半结束。因为讲演地点在东京大学，离学士院很近，华老没回新大谷饭店。日本亚洲交流会特意作了安排，请华老在附近的一家旅馆休息。华老吸了氧气，喝了参汤。三点半出发去东京大学，在数学系的接待室与日本数学界的朋友们见面，并留言、合影。四点十分左右，华老开始讲演。先是用我国汉语讲，翻译遇到一些技术问题后，华老改用英语讲。讲演中，反应强烈。华老的学术观点得到了与会者的共鸣。他手扶拐杖站着讲，愈讲愈兴奋，先把西装外套脱掉，然后又解下领带。大会主席多次请华老坐下来讲，华老每次都有礼貌地坐了下来。但不到一分钟，又继续站起来讲。精神很好，声音愈讲愈高，后来甚至用拐杖当教鞭。讲到五点左右，华老看了看表，发现时间到了（原计划讲 45 分钟），他向大会主席申请延长几分钟，大会主席同意后，他用最后十多分钟讲了近年来所作的重要研完成果。就是这样，华老用最后的精力完成了这个报告，博得了全场热烈的掌声。正当日本朋友手拿鲜花向他走去，祝贺他讲演成功的时候，华老倒在讲台上了。日本朋友以极快速度请来医疗专家，全力抢救。然而，这位伟大的科学家，中国数学界的巨匠，我们的恩师华老没能再醒过来。华老毕生战斗直至他生命的最后一刻。我们一定要学习华老的精神，把数学应用于国民经济建设的工作继续进行下去。
